GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Tisserandparameter</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Tisserandparameter</span></h1>

</header>

</div>

<p>Der <a href="Dimensionslos" class="mw-redirect" title="Dimensionslos">dimensionslose</a> <b>Tisserandparameter</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> (nach <a href="Fran%C3%A7ois_F%C3%A9lix_Tisserand" class="mw-redirect" title="François Félix Tisserand">François Félix Tisserand</a>) stellt eine Näherung des <a href="Jacobi-Integrationsmethode" class="mw-redirect" title="Jacobi-Integrationsmethode">Jacobi-Integrals</a> dar und ist näherungsweise eine <a href="Erhaltungsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Erhaltungsgröße">Erhaltungsgröße</a> des zirkular vereinfachten <a href="Dreik%C3%B6rperproblem" title="Dreikörperproblem">Dreikörperproblems</a>.<sup id="cite_ref-grOM_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-grOM-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Er findet Anwendung in <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> und <a href="Raumfahrt" title="Raumfahrt">Raumfahrt</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Der Tisserandparameter eines <a href="Kleink%C3%B6rper_(Astronomie)" title="Kleinkörper (Astronomie)">kleinen Körpers</a> (i. d. R. ein <a href="Asteroid" title="Asteroid">Asteroid</a> oder <a href="Komet" title="Komet">Komet</a>) in Bezug auf einen <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> P wird definiert durch <sup id="cite_ref-miller_weeks_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-miller_weeks-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{P}={\frac {a_{P}}{a}}+2\cdot \cos i\cdot {\sqrt {{\frac {a}{a_{P}}}(1-e^{2})}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43318fb96482a08d5fd5c2c22a6acfe5eb93bcf5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:34.923ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle T_{P}={\frac {a_{P}}{a}}+2\cdot \cos i\cdot {\sqrt {{\frac {a}{a_{P}}}(1-e^{2})}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{P}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/013cfe982a1ca7e27df173b9f221a7dc9ff4031c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.696ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{P}}" loading="lazy"></span> die große <a href="Halbachsen_der_Ellipse" title="Halbachsen der Ellipse">Halbachse</a> der Bahn des Planeten</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> die große Halbachse der Bahn des kleinen Körpers</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> die <a href="Bahnneigung" title="Bahnneigung">Inklination</a> der Bahn des kleinen Körpers relativ zur Planetenbahn</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"></span> die <a href="Exzentrizit%C3%A4t_(Astronomie)" title="Exzentrizität (Astronomie)">Exzentrizität</a> der Bahn des kleinen Körpers.</li></ul>

<p>Der Tisserandparameter wird meist in Relation zum <a href="Jupiter_(Planet)" title="Jupiter (Planet)">Jupiter</a> angegeben (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{J}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{J}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b39c767f2d77d67be9e8682767c8b46ef5ad321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.63ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{J}}" loading="lazy"></span>), da die Wechselwirkung mit Jupiter den größten Einfluss auf die Bahnen der kleineren Körper des <a href="Sonnensystem" title="Sonnensystem">Sonnensystems</a> ausübt. Für Objekte jenseits der Jupiterbahn wird der Tisserandparameter jedoch auch in Bezug auf <a href="Saturn_(Planet)" title="Saturn (Planet)">Saturn</a>, <a href="Uranus_(Planet)" title="Uranus (Planet)">Uranus</a> und <a href="Neptun_(Planet)" title="Neptun (Planet)">Neptun</a> berechnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zirkular_vereinfachtes_Dreikörperproblem"><span id="Zirkular_vereinfachtes_Dreik.C3.B6rperproblem"></span>Zirkular vereinfachtes Dreikörperproblem</h3></div>

<p>Die Voraussetzung, das „zirkular vereinfachte Dreikörperproblem“, bedeutet im Einzelnen<sup id="cite_ref-grOM_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-grOM-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>:

</p>

<ol><li>die Masse des kleinen Körpers ist vernachlässigbar gegenüber der Masse des Planeten (und der Sonne): <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\ll m_{P}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\ll m_{P}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3dc06ffac841f27a13f1311a10f6e938995e89f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.161ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\ll m_{P}}" loading="lazy"></span> – die Näherung für das Jacobi-Integral gilt nur dann, wenn die Masse des Planeten klein ist gegenüber der Sonne: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{P}\ll m_{S}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{P}\ll m_{S}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbd8de1457e302db352dedc73c73101e89d3304b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.454ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m_{P}\ll m_{S}}" loading="lazy"></span></li>

<li>die Bahn des Planeten ist kreisförmig ("zirkular")</li>

<li>die Bahn des kleinen Körpers wird ausschließlich durch die Sonne und den betrachteten Planeten beeinflusst, d. h. weder andere Körper noch nichtgravitative Einflüsse stören die Bahn.</li></ol>

<p>Während die erste Annahme in der praktischen Anwendung durchaus gerechtfertigt ist, stellen die beiden anderen starke <a href="Idealisierung_(Physik)" title="Idealisierung (Physik)">Idealisierungen</a> dar.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<p>Durch die Wechselwirkung mit Jupiter ändern sich die <a href="Bahnelement" title="Bahnelement">Bahnelemente</a> eines Kometen zum Teil sehr stark, so dass mitunter erst nach umfangreichen <a href="Iteration#Numerische_Mathematik" title="Iteration">iterativen</a> Bahnberechnungen entschieden werden kann, ob es sich bei zwei Kometenbeobachtungen um den gleichen oder um zwei verschiedene Kometen handelt.

</p><p>Der französische Astronom François Félix Tisserand veröffentlichte 1896 ein einfaches Kriterium, um die Bahnen von Kometen miteinander zu vergleichen: Durch das <b>Tisserandkriterium</b> – die Tisserandparameter für beide Beobachtungen müssen annähernd übereinstimmen: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{J_{1}}\approx T_{J_{2}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{J_{1}}\approx T_{J_{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68a97703fa76bbd857d3b875b4fa406ec0718f0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.766ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{J_{1}}\approx T_{J_{2}}}" loading="lazy"></span>– kann man entscheiden, ob es sich überhaupt um den gleichen Kometen handeln <i>könnte</i>, und kann deshalb in vielen Fällen auf aufwändige (händische) Berechnungen verzichten. Tisserand hat anhand dieses Kriteriums bestimmt, ob es sich bei zwei Objekten, die er beobachtete, um eigentlich dasselbe Objekt handelte, jeweils vor und nach einem Vorbeiflug an Jupiter, der die Bahn änderte. Auch für die veränderte Bahn blieb der Tisserandparameter erhalten, so dass er dann die Flugbahn jeweils voraus bzw. rückwärts berechnen konnte, um zu überprüfen, ob eine Begegnung mit Jupiter stattgefunden hatte.<sup id="cite_ref-grOM_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-grOM-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts hat das Tisserandkriterium durch den Einsatz leistungsstarker Rechner stark an Bedeutung verloren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Heutige_Anwendungen">Heutige Anwendungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="In_der_Astronomie">In der Astronomie</h3></div>

<p>Die heutige Bedeutung des Tisserandparameters liegt vor allem in einer einfachen <a href="Klassifikation" title="Klassifikation">Klassifikation</a> der Körper des Sonnensystems:

</p>

<ul><li>die meisten Asteroiden weisen ein <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{J}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{J}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b39c767f2d77d67be9e8682767c8b46ef5ad321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.63ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{J}}" loading="lazy"></span> von über 3 auf</li>

<li>für die Kometen der <a href="Jupiter-Familie" title="Jupiter-Familie">Jupiter-Familie</a> liegt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{J}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{J}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b39c767f2d77d67be9e8682767c8b46ef5ad321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.63ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{J}}" loading="lazy"></span> zwischen 2 und 3.</li></ul>

<p>Von dieser „Regel“ gibt es Ausnahmen, da es aufgrund fehlender Aktivität der Kometen in den äußeren Bereichen des Sonnensystems nicht einfach ist, sie von Asteroiden zu unterscheiden. So wurde bei einigen ursprünglich als Asteroiden eingestuften Objekten später eine <a href="Komet#Koma" title="Komet">Koma</a> festgestellt, woraufhin sie auch als Kometen einzustufen sind (z. B. <a href="(2060)_Chiron" title="(2060) Chiron">(2060) Chiron</a>) – andere Asteroiden (Damocloiden) bewegen sich auf typischen <a href="Kometenbahn" class="mw-redirect" title="Kometenbahn">Kometenbahnen</a>, zeigen jedoch keinerlei Aktivität.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="In_der_Raumfahrt">In der Raumfahrt</h3></div>

<p>Bei der Planung eines <a href="Gravity-Assist" class="mw-redirect" title="Gravity-Assist">Gravity-Assist</a>-Manövers spielt die Erhaltung des Tisserandparameters eine entscheidende Rolle. Da die möglichen Bahnen nach dem <a href="Flyby" class="mw-redirect" title="Flyby">Flyby</a> durch den Tisserandparameter sehr stark eingeschränkt sind, nimmt man ihn als Basis für die Wahl einer passenden Zielbahn. Hat man diese gefunden, führt dies wiederum direkt zur benötigten Geschwindigkeit und zum Abstand für das Flyby-Manöver.<sup id="cite_ref-miller_weeks_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-miller_weeks-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-grOM-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-grOM_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-grOM_1-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-grOM_1-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text">Volker Maiwald, Dominik Quantius, Benny Rievers: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Orbitmechanik</cite>. 2. Auflage. Hanser, 2021, ISBN 978-3-446-47027-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>158<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>ff</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tisserandparameter&rft.au=Volker+Maiwald%2C+Dominik+Quantius%2C+Benny+Rievers&rft.btitle=Grundlagen+der+Orbitmechanik&rft.date=2021&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=9783446470279&rft.pages=158ff&rft.pub=Hanser" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-miller_weeks-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-miller_weeks_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-miller_weeks_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><span class="cite">James Miller & Connie Weeks: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/6.2002-4717"><i>Application of Tisserand's Criterion to the Design of Gravity Assist Trajectories.</i></a> (PDF) In: <i>AIAA/AAAS Astrodynamics Specialist Conference.</i> AIAA, 2002,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 15. Dezember 2022</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ATisserandparameter&rft.title=Application+of+Tisserand%27s+Criterion+to+the+Design+of+Gravity+Assist+Trajectories&rft.description=Application+of+Tisserand%27s+Criterion+to+the+Design+of+Gravity+Assist+Trajectories&rft.identifier=&rft.creator=James+Miller+%26+Connie+Weeks&rft.publisher=AIAA&rft.date=2002&rft.language=en"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

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